In der Logik Quantifizierung wird die Menge der Proben im Bereich des Diskurses angegeben, die eine offene Formel erfüllen. Die zwei häufigsten Quantifizierer bedeuten "für alle" und "es gibt". In der Arithmetik erlauben die Quantifizierer zum Beispiel zu sagen, dass die natürlichen Zahlen für immer fortbestehen, indem sie für alle n (wobei n eine natürliche Zahl ist) schreibt, es gibt eine andere Zahl (beispielsweise den Nachfolger von n) welches größer ist als n.
Ein Sprachelement, das eine Quantifizierung erzeugt (wie "alle"), wird als -Quantifizierer bezeichnet.
Der resultierende Ausdruck ist ein quantifizierter Ausdruck, man sagt, er sei über das Prädikat quantifiziert (wie "die natürliche Zahl x hat einen Nachfolger")), deren freie Variable durch den Quantifizierer gebunden ist .
In formalen Sprachen ist Quantifizierung ein Formelkonstruktor, der neue Formeln aus alten herstellt.
Die Semantik der Sprache gibt an, wie der Konstruktor interpretiert wird.
Zwei grundlegende Arten der Quantifizierung in der Prädikatenlogik sind die universelle Quantifizierung und die existentielle Quantifizierung.
Das traditionelle Symbol für den universellen Quantifizierer "all" ist "∀", ein gedrehter Buchstabe "A", und für den existenziellen Quantifizierer "existiert" ist "∃" ein gedrehter Buchstabe "E". Diese Quantifizierer wurden beginnend mit der Arbeit von Mostowski und Lindström verallgemeinert.
Die Quantifizierung wird auch in natürlichen Sprachen verwendet. Beispiele für Quantifizierer in englischer Sprache sind für alle für einige viele einige viele und nein; Details siehe Quantifier (Linguistik).
Mathematik [ edit ]
Betrachten Sie die folgende Aussage:
- 1 · 2 = 1 + 1 und 2 · 2 = 2 + 2 und 3 · 2 = 3 + 3, ... und 100 · 2 = 100 + 100 und ... usw. 19659008] Dies hat den Anschein einer unendlichen Konjunktion von Sätzen. Aus Sicht der formalen Sprachen ist dies sofort ein Problem, da erwartet wird, dass Syntaxregeln endliche Objekte generieren. Das obige Beispiel ist insofern ein Glück, als es ein Verfahren gibt, um alle Konjunktionen zu erzeugen. Wenn jedoch eine Aussage über jede irrationale Zahl gemacht werden sollte, gibt es keine Möglichkeit, alle Konjunkte aufzulisten, da irrationals nicht aufgezählt werden können. Eine knappe Formulierung, die diese Probleme vermeidet, verwendet die universelle Quantifizierung :
- Für jede natürliche Zahl n n · 2 = n + n .
. Eine ähnliche Analyse gilt für die Disjunktion
- 1 ist gleich 5 + 5 oder 2 ist gleich 5 + 5 oder 3 ist gleich 5 + 5, ... oder 100 ist gleich 5 + 5 oder ... usw. 19659008]das unter Verwendung der existentiellen Quantifizierung umformuliert werden kann:
- Für eine natürliche Zahl ist n n gleich 5 + 5.
Algebraische Ansätze zur Quantifizierung edit
] Es ist möglich, abstrakte Algebren zu entwickeln, deren Modelle formale Sprachen mit Quantifizierung enthalten. Der Fortschritt ist jedoch langsam [ erforderliche Klarstellung und das Interesse an einer solchen Algebra ist begrenzt. Bisher wurden drei Ansätze entwickelt:
Notation [ edit ]
Die beiden häufigsten Quantifizierer sind der Universalquantifizierer und der Existenzquantifizierer. Das traditionelle Symbol für den Universalquantifizierer ist "∀", ein gedrehter Buchstabe "A", der für "für alle" oder "alle" steht. Das entsprechende Symbol für den existenziellen Quantifizierer ist "∃", ein gedrehter Buchstabe "E", der für "es gibt" oder "existiert" steht.
Ein Beispiel für das Übersetzen einer quantifizierten englischen Aussage wäre wie folgt. In Anbetracht der Aussage "Jeder Freund von Peter tanzt entweder oder geht gerne an den Strand", können wir die wichtigsten Aspekte identifizieren und mithilfe von Symbolen einschließlich Quantifizierern umschreiben. So sei X die Gruppe aller Freunde von Peter, P ( x ) das Prädikat " x tanzt", und Q ( x ) Das Prädikat " x geht gern zum Strand". Dann kann der obige Satz in formaler Notation geschrieben werden als das gelesen wird, "für jeden x der ein Mitglied von X P gilt für x oder Q gilt für x . "
Einige andere quantifizierte Ausdrücke sind wie folgt aufgebaut:
für eine Formel P . Diese zwei Ausdrücke (unter Verwendung der obigen Definitionen) werden gelesen als "es gibt einen Freund von Peter, der gerne tanzt" bzw. "alle Freunde von Peter tanzen gerne".
Zu den Variantennotierungen gehören für Satz X und Satzmitglieder x :Einige Versionen der Notation explizit Erwähnen Sie den Bereich der Quantifizierung. Der Quantifizierungsbereich muss immer angegeben werden; Für eine gegebene mathematische Theorie kann dies auf verschiedene Arten erfolgen:
- Nehmen Sie für jede Quantifizierung eine feste Diskursdomäne an, wie dies in der Zermelo-Fraenkel-Satztheorie der Fall ist,
- Legen Sie mehrere Diskursdomänen im Voraus fest und verlangen Sie, dass jede Variable eine deklarierte Domäne hat, die vom Typ ist dieser Variablen. Dies ist analog zu der Situation in statisch typisierten Computerprogrammiersprachen, in denen Variablen Typen deklariert haben.
- Erwähnen Sie explizit den Bereich der Quantifizierung, indem Sie ein Symbol für die Menge aller Objekte in dieser Domäne oder den Typ der Objekte in diesem Bereich verwenden domain.
Unter bestimmten Einschränkungen kann eine beliebige Variable als quantifizierte Variable verwendet werden, bei der die Variablenerfassung nicht auftritt. Auch wenn die Notation typisierte Variablen verwendet, können Variablen dieses Typs verwendet werden.
Informell oder in natürlicher Sprache könnten "∀ x " oder "∃ x " nach oder in der Mitte von P () erscheinen. x ). Formal wird jedoch der Satz vor die Dummy-Variable eingefügt.
In mathematischen Formeln werden symbolische Ausdrücke für Quantifizierer mit natürlichsprachlichen Quantifizierern wie
- Für jede natürliche Zahl x ...
- Es gibt ein x so dass ...
- Für mindestens ein x, .. ..
Schlüsselwörter für die Quantifizierung der Eindeutigkeit sind:
- Für genau eine natürliche Zahl x ...
- Es gibt nur einen einzigen x so dass ...
Ferner x kann durch ein Pronomen ersetzt werden. Zum Beispiel,
- Für jede natürliche Zahl entspricht ihr Produkt mit 2 ihrer Summe mit sich selbst.
- Einige natürliche Zahlen sind Primzahlen.
Verschachtelung [ edit
Die Reihenfolge von Quantifizierer sind kritisch für die Bedeutung, wie durch die folgenden zwei Sätze veranschaulicht wird:
- Für jede natürliche Zahl n existiert eine natürliche Zahl so dass = n 2 . 19659008] Dies ist eindeutig wahr; es behauptet nur, dass jede natürliche Zahl ein Quadrat hat. Die Bedeutung der Behauptung, in der die Quantifizierer umgedreht werden, ist unterschiedlich:
- Es gibt eine natürliche Zahl s so dass für jede natürliche Zahl n s = n 2 . 19659008] Dies ist eindeutig falsch; es behauptet, dass es eine einzige natürliche Zahl s gibt, die gleichzeitig das Quadrat von jeder natürlichen Zahl ist. Dies liegt daran, dass die Syntax bestimmt, dass keine Variable eine Funktion von später eingeführten Variablen sein kann.
Ein weniger triviales Beispiel aus der mathematischen Analyse sind die Konzepte der einheitlichen und punktweisen Kontinuität, deren Definitionen sich nur durch einen Austausch in der Position zweier Quantifizierer unterscheiden.
Eine Funktion f von R bis R wird aufgerufen- punktweise stetig, wenn
- einheitlich stetig, wenn
Im ersteren Fall kann der für δ gewählte Wert eine Funktion sowohl von als auch x sein, den ihm vorangehenden Variablen .
Im letzteren Fall kann δ nur eine Funktion von ε sein, d. H. Es muss unabhängig von x gewählt werden.
Zum Beispiel f ( x ) = x 2 erfüllt punktweise, jedoch keine einheitliche Kontinuität.
Im Gegensatz dazu ändert das Vertauschen der beiden anfänglichen Universalquantifizierer bei der Definition der punktweisen Kontinuität die Bedeutung nicht.Die maximale Schachtelungstiefe von Quantifizierern innerhalb einer Formel wird als -Quantifizierer-Rang bezeichnet.
Äquivalente Ausdrücke [ edit ]
Wenn D eine Domäne von x und P P ist ] x ) ist ein Prädikat, das von x abhängt, dann kann der universelle Satz als ausgedrückt werden
Diese Notation wird als eingeschränkte oder relativierte oder beschränkte Quantifizierung bezeichnet. Äquivalent
Der existenzielle Satz kann mit eingeschränkter Quantifizierung als ausgedrückt werden
oder gleichwertig
Zusammen mit der Negation ist nur eines der Universellen oder Existentialen Ein Quantifizierer wird für beide Aufgaben benötigt:
aus dem hervorgeht, dass man, um einen Vorschlag "für alle x " zu widerlegen, nicht mehr braucht, als einen x zu finden, für den die Prädikat ist falsch. Ähnlich,
Um ein "Es gibt einen x " -Anspruch zu widerlegen, muss gezeigt werden, dass das Prädikat für alle falsch x ist.
Bereich der Quantifizierung [ edit ]
Jede Quantifizierung beinhaltet eine bestimmte Variable und einen Bereich des Diskurses oder des Quantifizierungsbereichs davon Variable. Der Quantifizierungsbereich gibt die Menge der Werte an, die die Variable annimmt. In den obigen Beispielen ist der Quantifizierungsbereich die Menge der natürlichen Zahlen. Durch die Angabe des Bereichs der Quantifizierung können wir den Unterschied zwischen ausdrücken und behaupten, dass ein Prädikat für eine natürliche Zahl oder für eine reelle Zahl gilt. In Ausstellungskonventionen werden häufig Variablennamen wie " n " für natürliche Zahlen und " x " für reelle Zahlen reserviert, obwohl die ausschließliche Verwendung von Namenskonventionen im Allgemeinen nicht möglich ist, da Variablenbereiche nicht allgemein funktionieren Änderung im Verlauf eines mathematischen Arguments.
Eine natürlichere Methode zur Beschränkung des Bereichs der Verwendung von Diskursen bewachte Quantifizierung . Zum Beispiel die geschützte Quantifizierung
- Für einige natürliche Zahlen n n ist gerade und n bedeutet
- Für einige gerade Zahlen ist n n Primzahl.
In einigen mathematischen Theorien ist ein einzelner Bereich von
Vorab festgelegter Diskurs wird vorausgesetzt. In der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre zum Beispiel erstrecken sich die Variablen über alle Mengen. In diesem Fall können geschützte Quantifizierer verwendet werden, um einen kleineren Quantifizierungsbereich nachzubilden. Also im Beispiel
oben zum Ausdruck bringen- Für jede natürliche Zahl n n · 2 = n + n
in Zermelo-Fraenkel-Satztheorie. es kann gesagt werden
- Für jeden n wenn n zu N gehört, dann n · 2 = n + n
wobei N die Menge aller natürlichen Zahlen ist.
Formale Semantik [ edit ]
Mathematische Semantik ist die Anwendung der Mathematik, um die Bedeutung von Ausdrücken in einer formalen Sprache zu studieren. Es hat drei Elemente: Eine mathematische Spezifikation einer Klasse von Objekten mittels Syntax, eine mathematische Spezifikation verschiedener semantischer Domänen und die Beziehung zwischen den beiden, die normalerweise als Funktion von syntaktischen Objekten zu semantischen Objekten ausgedrückt wird. In diesem Artikel wird nur die Frage behandelt, wie Quantifiziererelemente interpretiert werden.
Bei einem theoretischen Modellmodell kann die Syntax einer Formel durch einen Syntaxbaum angegeben werden. Quantifizierer haben Gültigkeitsbereich, und eine Variable x ist frei, wenn sie nicht im Bereich einer Quantifizierung für diese Variable liegt. Also in
das Auftreten von sowohl x als auch y in C (19459005) x ) ist frei.
Syntaktischer Baum, der den Umfang und die Variablenerfassung veranschaulicht.Eine Interpretation für Prädikatenkalkül erster Ordnung setzt voraus, dass sie gegeben ist
eine Domäne von Individuen X . Eine Formel A deren freie Variablen
x 1 ..., x n wird als a interpretiert
boolesche Funktion F ( v 1 ...,
v n ) von n Argumente, wobei jedes Argument reicht
über der Domäne X . Boolescher Wert bedeutet, dass die Funktion einen der Werte T (interpretiert als Wahrheit) oder F (interpretiert als Falschheit) annimmt. Die Interpretation der Formelist die Funktion G von n -1 Argumenten, so dass ] G ( v 1 ..., v n -1 ) = T wenn und nur dann, wenn F ( v 1 ..., v n -1 -1
- Es gibt eine natürliche Zahl s so dass für jede natürliche Zahl n s = n 2 . 19659008] Dies ist eindeutig falsch; es behauptet, dass es eine einzige natürliche Zahl s gibt, die gleichzeitig das Quadrat von jeder natürlichen Zahl ist. Dies liegt daran, dass die Syntax bestimmt, dass keine Variable eine Funktion von später eingeführten Variablen sein kann.
![( exists {x}) P qquad ( existiert x . P) qquad existiert x cdot P qquad ( exists x: P) qquad exists {x} (P) qquad exi sts_ {x} , P qquad lebt {x} {,} , P qquad existiert {x} { in} X , P qquad existiert , x {:} X , P [19659039] </dd></dl><p> Alle diese Variationen gelten auch für die universelle Quantifizierung.<br/>Andere Variationen für den Universalquantifizierer sind<br/></p><br/><dl><dd> <span class=](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/559b11c01e56c81bc6957b4daccce8a787910846)
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