yukio tm376 : Transzendentale Funktion

Eine transzendentale Funktion ist eine analytische Funktion, die im Gegensatz zu einer algebraischen Funktion keine Polynomgleichung erfüllt. ^[1]^[2]
Eine transzendentale Funktion "transcends" Algebra insofern, als sie nicht als endliche Folge der algebraischen Operationen der Addition, Multiplikation und Wurzelextraktion ausgedrückt werden kann.

Beispiele für transzendentale Funktionen umfassen die Exponentialfunktion, den Logarithmus und die trigonometrischen Funktionen.

Definition [ edit ]

Formal ist eine analytische Funktion ƒ ( z ) einer reellen oder komplexen Variablen z z wenn transzendent es ist algebraisch unabhängig von dieser Variablen. ^[3] Dies kann auf Funktionen mehrerer Variablen erweitert werden.

Geschichte [ edit ]

Die transzendentalen Funktionen Sinus und Cosinus wurden aus physikalischen Messungen in der Antike tabelliert, wie in Griechenland (Hipparchus) und Indien (Jya und Koti-Jya) nachgewiesen wurde. Olaf Pedersen beschrieb Ptolemys Akkordtabelle, ein Äquivalent zu einer Sinustabelle, und schrieb:

Der mathematische Begriff der Kontinuität als expliziter Begriff ist Ptolemäus unbekannt. Daß er diese Funktionen tatsächlich als stetig behandelt, ergibt sich aus seiner unausgesprochenen Vermutung, daß es möglich ist, einen Wert der abhängigen Variablen, der jedem Wert der unabhängigen Variablen entspricht, durch den einfachen Prozeß der linearen Interpolation zu bestimmen. ^[4]

Ein revolutionäres Verständnis Diese zirkulären Funktionen traten im 17. Jahrhundert auf und wurden von Leonhard Euler 1748 in seiner Einführung in die Analyse des Unendlichen erläutert. Diese uralten transzendentalen Funktionen wurden durch Quadratur der rechteckigen Hyperbel als stetige Funktionen bekannt xy = 1 von Grégoire de Saint-Vincent im Jahre 1647, zwei Jahrtausende, nachdem Archimedes produziert hatte. Die Quadratur der Parabel .

Es wurde gezeigt, dass der Bereich unter der Hyperbel die Skaliereigenschaft des konstanten Bereichs für ein konstantes Verhältnis von Grenzen hat. Die so beschriebene natürliche Logarithmusfunktion war bis 1748 von begrenztem Nutzen, als Leonhard Euler sie auf Funktionen verwies, bei denen eine Konstante auf einen variablen Exponenten angehoben wurde, wie etwa die Exponentialfunktion, bei der die konstante Basis e ist. Durch die Einführung dieser transzendentalen Funktionen und das Feststellen der Bijection-Eigenschaft, die eine inverse Funktion impliziert, wurden einige Möglichkeiten für algebraische Manipulationen des natürlichen Logarithmus geschaffen, auch wenn es sich nicht um eine algebraische Funktion handelt.

Die Exponentialfunktion wird geschrieben ${displaystyle exp(x)=e^{x}.}$ Euler identifizierte es mit der unendlichen Reihe ${displaystyle sum _{k=0}^{infty }x^{k}/k!,}$ wo k! bezeichnet die Fakultät von k .